Persamaan Kuadrat, Fungsi Kuadrat dan Pertidaksamaan

A.      Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:

ax² + bx + c = 0 , a ¹ 0                   a, b dan c adalah bilangan real.

1. 1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:

a)       memfaktorkan,

b)       melengkapkan kuadrat sempurna,

c)       menggunakan rumus.

1. a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

ax² + bx + c = 0   dapat dinyatakan menjadi a (x – x₁) (x – x₂) = 0.

Nilai x₁ dan x₂ disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.

Contoh 1 :

Selesaikan x² – 4 x + 3 = 0

Jawab:    x² – 4 x + 3 = 0

(x – 3) (x – 1) = 0

x – 3 = 0   atau    x – 1 = 0

x = 3   atau    x = 1

Jadi, penyelesaian dari x² – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.

Contoh 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 2)² = x – 2.

Jawab:         (x – 2)² = x – 2

x² – 4 x + 4 =  x – 2

x² – 5 x + 6 = 0

(x – 3) (x – 2) = 0

x – 3 = 0   atau   x – 2 = 0

x = 3   atau          x = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3 , 2}.

Contoh 3 :

Tentukan penyelesaian dari 2 x² + 7 x + 6 = 0.

Jawab:    2 x² + 7 x + 6 = 0

2 x² + 4 x + 3 x + 6 = 0

2 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0

(x + 2) (2 x + 3) = 0

x +2 = 0     atau  2 x + 3 = 0

x = –2   atau           x = – 1

Jadi, penyelesaiannya adalah  –2 dan –1.

1. b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Persamaan kuadrat  ax² + bx + c = 0   dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)² = q.

Contoh 1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari x² – 6 x + 5 = 0.

Jawab:   x² – 6 x + 5 = 0

x² – 6 x + 9 – 4 = 0

x² – 6 x + 9 = 4

(x – 3)² = 4

x – 3 = 2  atau x – 3 = –2

x = 5    atau     x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.

Contoh 2:

Tentukan penyelesaian dari 2 x² – 8 x + 7 = 0.

Jawab:   2 x² – 8 x + 7 = 0

2 x² – 8 x + 8 – 1 = 0

2 x² – 8 x + 8 = 1

2 (x² – 4 x + 4) = 1

2 (x – 2)² = 1

(x – 2)² = ½

x – 2 =    atau x – 2 = –

x = 2 + Ö2   atau x = 2 –Ö2

Jadi, penyelesaiannya adalah   2 + Ö2   dan   2 – Ö2.

1. c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x² + b x + c = 0 adalah

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari x² + 7x – 30 = 0.

Jawab:   x² + 7x – 30 = 0

a = 1  ,  b = 7  ,  c = – 30

x = 3   atau   x = –10

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.

Latihan 1

1. Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini:
2. Nyatakan persamaan-persamaan kuadrat berikut dalam bentuk umum, kemudian tentukanlah akar-akarnya!
3. Salah satu akar x² – mx + 12 = 0 adalah 3. Hitunglah nilai m dan akar yang lain!
4. Jika x = 1 memenuhi persamaan (a – 1)x² + (3a – 1)x = 3a, hitunglah a dan akar yang lain!
5. Untuk percetakan kartu nama, diperlukan kertas yang berbentuk persegi panjang dengan panjang dan lebar

1. x² – 3x + 2 = 0                                                                     f.   –2x² + 8x – 9 = 0
2. 3x² – 9x = 0                                                                         g.   –6x² + 10xÖ3 – 9 = 0
3. 6x² – 13x + 6 = 0                                                                h.   x² – 2xÖ3 – 1 = 0
4. 5p² + 3p + 2 = 0                                                                  i.   x² + x – 506 = 0
5. 9x² – 3x + 25 = 0                                                                j.   x² – x + Ö2 = 2

1. 2x – x(x + 3) = 0                                                              c.   (x – 3)² + 2(x – 3) – 3 = 0
2. (x – 3) (x + 2) – 2x² + 12 = 0                                          d.

berselisih 4 cm, sedangkan luasnya 45 cm². Hitunglah panjang dan lebar kartu nama itu!

2.      Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0  dengan akar-akarnya  ,  b² – 4ac disebut diskriminan (D). Sehingga rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai  .

Dari rumus tersebut tampak bahwa nilai  x tergantung dari nilai  D.

Apabila:

1. D > 0  maka  ÖD  merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan,       .
2. D = 0  maka  ÖD = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real sama.                .
3. D < 0  maka  ÖD  merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka persamaan kuadrat tidak mempunyai

akar real atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.

Contoh :

Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut:

1. x² + 5 x + 2 = 0
2. x² – 10 x + 25 = 0
3. 3 x² – 4 x + 2 = 0

Jawab :

1. x² + 5 x + 2 = 0

a = 1  ,  b = 5  ,  c = 2

D = b² – 4ac = 5² – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17

Ternyata  D > 0. Jadi, persamaan x² + 5 x + 2 = 0  mempunyai dua akar real berlainan.

1. x² – 10 x + 25 = 0

a = 1  , b = -10  ,  c = 25

D = b² – 4ac = (-10)² – 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0

Karena  D = 0, maka persamaan x² – 10 x + 25 = 0  mempunyai dua akar real sama.

1. 3 x² – 4 x + 2 = 0

a = 3  ,  b = –4  ,  c = 2

D = b² – 4ac = (-4)² – 4 . 3 . 2 = 16 – 24 = – 8

Ternyata bahwa  D < 0. Jadi, persamaan  3 x² – 4 x + 2 = 0  tidak mempunyai akar real.

Latihan 2

1. Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut ini:

1. x² + 6x + 6 = 0
2. x² + 2x + 1 = 0
3. 2x² + 5x + 5 = 0
4. –2x² – 2x – 1 = 0
5. 6t² – 5t + 1 = 0
6. 4c² – 4c + 3 = 0

1. Tentukan nilai  p agar persamaan kuadrat berikut mempunyai akar yang sama (kembar)!

1. 4x² + 8px + 1 = 0
2. 4x² – 4px + (4p – 3) = 0
3. px² – 3px + (2p + 1) = 0

1. Persamaan  x² – 4px – (p – 1) = 0 akar kembar, tentukan persamaan kuadrat tersebut!
2. Buktikan bahwa persamaan  x² – px – (p + 1) = 0  mempunyai dua akar real berlainan!
3. Buktikan bahwa    mempunyai dua akar real berlainan!

3.      Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat

1. Persamaan kuadrat   ax² + bx + c = 0 mempunyai akar x₁ dan x₂.

ax² + bx + c = 0

x² + x + = 0

Karena  x₁ dan x₂ merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka :

Jadi,  ,   .

Contoh:

Akar-akar x² – 3x + 4 = 0 adalah x₁ dan x₂. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai:

1. x₁ + x₂ d.
2. x₁.x₂ e.   x₁³ + x₂³
3. x₁² + x₂²

Jawab:          x² – 3 x + 4 = 0  ®  a = 1  ,  b = –3  , c = 4

a.   x₁ + x₂ = 3

b.   x₁.x₂ = 4

c.   x₁² + x₂² = x₁² + x₂² +  2 x₁.x₂ – 2 x₁.x₂

= (x₁ + x₂)² – 2 x₁ x₂ = 2 (-3)² – 2 . 4 = 1

e. (x₁ + x₂)³ = x₁³ + 3 x₁² x₂ + 3 x₁ x₂² + x₂³

= x₁³ + 3 x₁ x₂ (x₁ +  x₂) + x₂³

x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ – 3 x₁ x₂ (x₁ + x₂)

= 3³ – 3 . 4 (3)

= 27 – 36 = –9

Latihan 3

1. Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan berikut:
2. Akar-akar persamaan x² + 2x + 5 = 0 adalah p dan q. Dengan tidak menyelesaikan persamaan itu, hitunglah:
3. Jumlah kuadrat akar-akar persamaan x² – (k + 2)x + 2k = 0 adalah 20. Hitunglah nilai k.
4. Jumlah kebalikan akar-akar persamaan ax² – (a + b)x + 2a = 0 adalah 2. Hitunglah nilai a.
5. Akar-akar persamaan x² + ax + b = 0 adalah x₁ dan x₂.

1. x² – 5x + 7 = 0                                                                     d.   bx² + ax + c = 0
2. 2x² – 7 = 0                                                                           e.
3. 4x² – 3x = 0                                                                         f.   (x – p)² + (x – q)² = p² + q²

1. p² + q²
2. (p + 2) (q + 2)
3. (p – 2q) (q – 2p)

Tentukan hubungan antara a dan b jika diketahui x_i² – x₁x₂ + x₂² = 5.

4.     Menyusun Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dapat disusun dengan:

v  menggunakan perkalian faktor,

v  menggunakan jumlah dan hasilkali akar-akar.

1. a. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor

Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat   x² + p x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai

(x – x₁) (x – x₂) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x₁ dan x₂. Dengan demikian jika akar-akar

persamaan kuadrat x₁ dan x₂ maka persamaannya adalah (x – x₁) (x – x₂) = 0.

Contoh 1:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.

Jawab:   (x – x₁) (x – x₂) = 0

(x – 3) (x – (-2)) = 0

(x – 3) (x + 2) = 0

x² – 3 x + 2 x – 6 = 0

x² – x – 6 = 0.

Contoh 2:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya   dan  !

Jawab:   (x – ) (x – ) = 0

= 0

6 x² – 2 x – 3 x + 1 = 0

6 x² – 5 x + 1 = 0

1. b. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar

Persamaan .

Dengan menggunakan x₁ + x₂ = – dan x₁ x₂ = , maka akan diperoleh persamaan:

x² – (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0.

Contoh:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3.

Jawab:   x₁ + x₂ = -2 – 3 = – 5

x₁ x₂ = 6

Jadi, persamaan kuadratnya x² – (–5)x + 6 = 0   atau   x² + 5x + 6 = 0.

1. c. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain

Seringkali kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan yang lain.

Contoh 1:

Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x² – 2x + 3 = 0.

Jawab:

Misal akar-akar persamaan x² – 2x + 3 = 0 adalah x₁ dan x₂.  ®  x₁ + x₂ =  2  ,  x₁ x₂ = 3.

Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p = x₁ + 3 dan  q =  x₂ +3

p + q = (x₁ + 3) + (x₂ + 3)                                 p q = (x₁ + 3) (x₂ + 3)

= x₁ + x₂ + 6                                                  = x₁ x₂ + 3(x₁ + x₂) + 9

= 2 + 6 = 8                                                    = 3 + 2(2) = 9 = 18

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x² – (p + q) + pq = 0.

Persamaan kuadrat baru adalah x² – 8x + 18 = 0.

Contoh 2:

Susunlah persamaan kuadrat baru yang akarnya 2 kali akar persamaan 2x² – 3x + 1 = 0.

Jawab:

Misalkan akar-akar persamaan 2x² – 3x + 1 = 0 adalah x₁ dan x₂ serta persamaan kuadrat baru adalah a dan b, maka a = 2x₁ dan  b = 2x₂

a + b = 2(x₁ + x₂) = 2

a b = 2x₁ . 2x₂ = 4x₁ x₂ = 4 .  = 2

Persamaan kuadrat yang akarnya a dan b adalah:

x² – (a + b)x + ab = 0.

Persamaan kuadrat baru adalah    x² – 3x + 2 = 0..

Latihan 4

1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya:
2. Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat berturut-turut adalah  dan . Tentukan persamaan kuadratnya!
3. Akar-akar persamaan kuadrat x² – 4x – 6 = 0 adalah a dan b. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
4. Akar-akar persamaan kuadrat 3x² + 2x + 1 = 0 adalah a dan b. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
5. Diketahui persamaan 2x² – 5x + 3 = 0. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:

1. 1 dan 3
2. 2 dan -4
3. -1 dan -5
4. –Ö2  dan  2Ö2
5. (p + q)  dan  (p – q)

1. (a + 1)  dan  (b + 1)
2. (a– 3)  dan  (b– 3)

1. 4a dan 4b
2. –a  dan  –b
3. (2a + 1)  dan  (2b + 1)
4. a² dan  b²

1. berlawanan dengan akar-akar persamaan yang diketahui.
2. kebalikan akar persamaan yang diketahui.

B.    Fungsi Kuadrat

1. 1. Pengertian

Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax² + bx + c dengan a, b, dan c bilangan real dan  disebut fungsi kuadrat.

Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat  ax² + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.

Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap² + bp + c.

Contoh 1:

Ditentukan: f(x) = x² – 6x – 7

Ditanyakan:

1. nilai pembuat nol fungsi f
2. nilai f untuk x = 0 , x = –2

Jawab:

1. Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0

x² – 6 x – 7 = 0

(x – 7) (x + 1) = 0

x = 7  atau  x = –1

Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7  dan –1

1. Untuk  x = 0   maka f(0) = –7

x = –2  maka f(–2) = (–2)² – 6 (–2) – 7 = 9

Contoh 2:

Tentukan nilai p agar ruas kanan f(x) = 3 x² + (p – 1) + 3 merupakan bentuk kuadrat sempurna.

Jawab :

Supaya merupakan suatu kuadrat sempurna, syaratnya D = 0.

D = (p – 1)² – 4 . 3 . 3 = 0

p² – 2p – 35 = 0

(p – 7) (p + 5) = 0

p = 7   atau   p = –5

Jadi, agar ruas kanan f(x) merupakan suatu kuadrat sempurna, maka p = 7 atau p = –5.

Periksalah jawaban itu.

1. 2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat

Untuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:

1)       f(x) = x² – 2x – 3

= x² – 2x + 1 – 4

=(x – 1)² – 4

Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)² mempunyai nilai paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x – 1)² – 4mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –4.

Jadi, f(x) = x² – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x = 1.

2)       f(x) = –x² + 4x + 5

= –x² + 4x – 4 + 9

= –(x² – 4x + 4) + 9

= –(x – 2)² + 9

Nilai terbesar dari – (x – 2)² sama dengan nol untul x = 2.

Dengan demikan nilai terbesar dari – (x – 2)² + 9 adalah 0 + 9 = 9.

Jadi, f(x) = –(x – 2)² + 9 atau f(x) = –x² + 4x + 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x = 2.

Sekarang perhatikan bentuk umum  f(x) = ax² + bx + c

Dengan uraian di atas, diperoleh:

Fungsi kuadrat f(x) = a x² + b x + c

Untuk a > 0, f mempunyai nilai minimum  untuk

Untuk a < 0, f mempunyai nilai maksimum  untuk

Contoh:

Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x² + 4x + 7

Jawab:

f(x) = 2x² + 4x + 7  ,  a = 2  ,  b = 4  , c = 7

Nilai minimum fungsi f = 5

Latihan 5

1. Diketahui: f(x) = x² – 4x – 6

Ditanya:        a. nilai pembuat nol fungsi

b. nilai f(x) , jika x = 0

c. f(2) , f(–1) , f(p)

1. Tentukan nilai minimum atau maksimum dari fungsi berikut ini:
2. Fungsi kuadrat f(x) = 2x² – px + 3 mempunyai nilai minimum untuk x = 2. Hitunglah nilai minimum itu!
3. Nilai maksimum f(x) = ax² + 4x + a adalah 3. Hitunglah nilai a !
4. Selisih dua bilangan positif adalah 3. Tentukan kedua bilangan itu agar hasilkalinya minimum!
5. Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum –2 untuk x = 3, dan mempunyai nilai 6 untuk x = 1. Tentukan fungsi kuadrat tersebut!

1. f(x) = x² + 4x + 4
2. f(x) = 2x² – 4x + 3
3. f(x) = –3 x² + 12x – 8
4. f(x) = –7 + 12x – 3x²
5. f(x) = (2x + 1) (x =- 3)
6. f(x) = (2x – 1)²

1. 3. Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat  f : x ® y = a x² + b x + c grafiknya berbentuk parabola.

Gambar 7.1                                                           Gambar 7.2

Perhatikan Gambar 7.1 dan 7.2

• Titik A dan titik B adalah titik potong dengan sumbu-X.
• Titik C merupakan titik potong grafik dengan sumbu-Y.
• Titik P merupakan titik balik/puncak parabola.
• Garis yang melalui puncak dan sejajar dengan sumbu-Y disebut sumbu simetri.

Cara melukis grafik fungsi kuadrat dengan menentukan:

1)       Titik potong grafik dengan sumbu-X.

Titik potong itu terletak pada sumbu-X sehingga absis titik tersebut diperoleh jika y = 0, maka

a x² + b x + c = 0. Karena a x² + b x + c = 0 merupakan persamaan kuadrat, maka banyaknya titik potong dengan sumbu-X tergantung pada D(diskriminan).

D > 0 ®  terdapat dua titik potong yang berlainan, yaitu (x₁ , 0)  dan  (x₂ , 0).

D = 0 ®   terdapat satu titik potong yang disebut titik singgung.

D < 0 ®  tidak mempunyai titik potong dengan sumbu-X.

2)       Titik potong dengan sumbu-Y.

Karena titik potong terletak pada sumbu-Y, maka ordinat titik potong itu diperoleh jika x = 0. Sehingga koordinatnya (0 , c).

3)       Sumbu simetri

Karena sumbu simetri adalah garis yang melalui titik puncak dan sejajar sumbu-Y maka persamaan sumbu simetri adalah:

4)       Titik Puncak/ Balik

Koordinat titik puncak

Catatan:

• Grafik fungsi kuadrat dengan persamaan y = a x² + b x + c berbentuk parabola.
• Parabola terbuka ke atas jika a > 0.
• Parabola terbuka ke bawah jika a < 0.

Contoh:

Buatlah sketsa grafik y = x² – 2x – 3  untuk x e R.

Jawab:

Titik potong dengan sumbu-X diperoleh jika y = 0.

x² – 2x – 3 = 0

(x – 3) (x + 1) = 0

x = 3   dan  x = –1

Koordinat titik potongnya adalah : A(3 , 0) dan B(–1 , 0)

Titik potong dengan sumbu-Y diperoleh jika x = 0

y = 0 – 0 – 3 = – 3

Koordinat titik potongnya C(0 , –3)

Sumbu simetri, garis

Titik puncak  ® D(1 , –4)

Hubungkan titik-titik A, B, C, dan D serta perhalus, sehingga diperoleh grafik  fungsi

y = x³ – 2x – 3.

Latihan 6

1. Tentukan koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat berikut ini, dengan sumbu koordinat:

1. y = x² – 4x – 5                                                                  c.   y = -2x² + 5x – 3
2. y = x² + 4x + 4                                                                  d.   y = 2x² – 5x + 4

1. Tentukan koordinat titik puncak/balik grafik fungsi pada soal no. 1 di atas!

1. Grafik fungsi kuadrat y = 2x² – px + 3  mempunyai sumbu simetri garis x = 2. Tentukan koordinat titik puncak !

1. Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat berikut ini dengan langkah-langkah:

1. y = x² – 6x + 8                                                                  d.   y = x² – 2
2. y = (x – 5)² e.   y = –x² + 3
3. y = 16 – x² f.   y = x² + 2x + 2

4.     Menentukan Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat Tertentu

Suatu fungsi kuadrat dapat ditentukan apabila fungsi itu:

1. melalui tiga titik yang berlainan.
2. memotong sumbu-X dan melalui sebuah titik lain.
3. melalui sebuah titik dan koordinat titik terendah/tertinggi diketahui.
4. menyinggung sumbu-X dan melalui sebuah titik.

1. a. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga buah titik

Contoh:

Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (–1 , 0) , ( 1 , 8 ) dan ( 2, 6 ).

Jawab :

Misal persamaan grafik adalah  y = a x² + b x + c

Grafik melalui titik (–1 , 0)  ®  0 = a(–1)² + b (–1) + c

0 = a – b + c ………………. (1)

Grafik melalui titik (1 , 8)  ®    8 =a (1)² + b (1) + c

8 = a + b + c ………………. (2)

Grafik melalui titik ( 2 , 6 )  ®  6 = a (2)² + b (2) + c

6 = 4 a + 2 b + c …………… (3)

Dari persamaan (1), (2), dan (3) dapat ditentukan nilai a, b, dan c dengan cara eliminasi.

(1)   a – b + c = 0 (2)    a +   b + c = 8                               a – b + c = 0

(2)   a + b + c = 8                                 (3)   4a + 2b + c = 6                            –2 – 4 + c = 0

–2b = –8                                       3a –   b = 2                                            c = 6

b = 4                                               – 3a – 4 = 2

a = –2

Jadi, fungsi kuadrat itu adalah   y = –2x² + 4x + 6.

b.      Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X

Misalkan titik potongnya (p , 0) dan (q , 0).

(p , 0) dan (q , 0) memenuhi persamaan y = a x² + b x + c sehingga  0= ap² + bp + c dan

0= aq² + bq + c . Kedua persamaan itu dikurangkan, akan diperoleh:

0 = a(p² – q²) + b(p – q)

b(p – q) = –a(p² – q²)

= –a(p + q) (p – q)

b = – a(p + q)

Substitusikan b = – a(p + q)   ke   ap² + bp + c = 0

ap² + (– a(p + q)) p + c = 0

ap² – ap² – pqa + c = 0

c = pqa

Untuk  b = – a(p + q)  dan  c = pqa maka

y = a x² + b x + c Û  y = ax² – a(p + q)x + pqa

= a(x² – (p + q)x + pq)

= a(x – p) (x – q)

Jadi, y = a(x – p) (x – q) adalah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di (p,0) dan (q,0).

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), serta melalui titik (–3, –8) !

Jawab:

Grafik memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), maka fungsi kuadratnya

y = a(x – (–5)) (x – 1)

= a(x + 5) (x – 1)

Grafik melalui titik (–3, –8), berarti

–8 = a(–3+5) (–3  – 1)

=  –8a

a = 1

Substitusikan a = 1 pada  y = a(x + 5) (x – 1) sehingga diperoleh   y = x² + 4x – 5.

Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = x² + 4x – 5.

1. c. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak grafik fungsi itu diketahui

Koordinat titik tertinggi/ terendah grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx + c adalah .

Dengan melihat kembali kajian terdahulu, maka fungsi kuadrat  y = ax² + bx + c dapat

dinyatakan dengan .

Sehingga fungsi kuadrat yang berpuncak di (p , q) adalah  y = a (x – p)² + q

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik tertinggi (1,3) dan melalui titik (0,0).

Jawab:

Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di (1,3) adalah  y = (x – 1)² + 3

Grafik melalui titik (0,0) berarti:

0 = a(0 – 1) + 3

0 = a + 3

a = –3

Substitusikan a = –3 pada   y = a (x – 1)² + 3 maka diperoleh

y = –3 (x – 1)² + 3

y = –3 (x² – 2x + 1) + 3

y = –3x² + 6x

Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = –3x² + 6x.

d.   Fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X

Perhatikan kembali bahasan tentang “Titik potong grafik dengan sumbu-X”. Grafik akan menyinggung sumbu-X jika dan hanya jika b² – 4ac = 0, maka koordinat titik tertinggi atau terendah adalah (,0).

Sehingga .

Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X adalah  .

Sehingga fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a(x – p)²

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan melalui titik (0,4) !

Jawab:

Fungsi kwadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di (2,0) adalah

y = a (x – 2)²

Grafik melalui titik (0,4) berarti :

4 = a(0 – 2)² = 4a

a = 1

Jadi, fungsi kuadrat itu y = 1(x – 2)² atau  y = x² – 4x + 4.

Latihan 7

1. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (–2, 12), (1, –3), dan (5, 5) !

1. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (3, –2), (5, 4), dan (1,-1 !

1. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (2, 0), dan (4, 0) serta melalui titik (0, 2) !

1. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (4, 0) dan (1, 0) serta melalui titik (2, –2)

1. Koordinat titik puncak grafik fungsi kuadrat adalah (–1, 1). Tentukan fungsi kuadrat itu jika grafiknya melalui titik (0, 1) !

1. Koordinat titik puncak grafik fungsi y = ax² + bx + 5 adalah (4, 9). Tentukan fungsi kuadratnya!

1. Suatu parabola menyinggung sumbu-X di titik (–2, 0) dan melalui titik (0, –1). Tentukan persamaan parabola!

1. Sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai tertinggi –3 untuk x = 2, sedangkan grafiknya melalui titik

(–2, –11). Tentukan fungsi kuadratnya!

1. Suatu fungsi kuadrat, grafiknya memotong sumbu-X di titik (2, 0) dan (5, 0), sedang fungsi itu mempunyai nilai maksimum 9. Tentukan fungsi kuadrat tersebut!

1. Grafik fungsi y = (p+3)² – 2(p – 1)x + (2p – 5) mempunyai titik puncak yang absisnya p. Tentukan fungsi kuadrat itu!

C. Pertidaksamaan

1. Pertidaksamaan Linear

Berdasarkan penyelesaiannya, pertidaksamaan linear terbagi menjadi :

1. Pertidaksamaan biasa, yaitu pertidaksamaan yang memiliki himpunan penyelesaian.

Contoh :  2 x + 3 < 5

1. Pertidaksamaan identik, yaitu pertidaksamaan yang berlaku untuk semua nilai peubah.

Contoh :  x + 5 < 2x + 10

1. Pertidaksamaan palsu, yaitu pertidaksamaan yang tidak mempunyai himpunan penyelesaian.

Contoh  x + 8 < x + 4

Contoh 1 :

Tentukan nilai x yang memenuhi 2 x + 4 > x + 3 !

Jawab :

2 x + 4 > x + 3

2 x – x > 3 – 4

x > – 4

Contoh 2 :

Selesaikanlah  3 x + 5 < 5 x + 7 !

Jawab :

3 x + 5 < 5 x + 7

3 x – 5 x < 7 – 5

- 2 x < 2

x > –1   (Catatan : ruas kiri dan kanan dibagi dengan bilangan negatif,

tanda pertidaksamaan berubah)

Latihan 8

Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut :

1. 4 x > 12                                                                                   6.   2 x + 1 £ 5 x – 4
2. – 2 x < 7                                                                                  7.   – 8 x + 2 ³ 5 x – 10
3. 4 + 3 x ³ – 8                                                                            8.
4. 9 – 3 x £ 6                                                                               9.
5. 2 x + 3 £ x + 4                                                                        10.

Tentukan nilai-nilai x dengan kemungkinan-kemungkinannya !

1. p x – p < 0                                                                               13.  p x + q x < p + q
2. a x £ a³ 14.  a x + 1 > x + a

Tentukan nilai x yang memenuhi:

1. 16

1. Pertidaksamaan Kuadrat

Dalam menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dilakukan langkah-langkah berikut :

1. Jadikan ruas kanan nol.
2. Uraikan ruas kiri atas faktor linear
3. Tentukan nilai pembuat nol ruas kiri
4. Buat garis bilangan dan tempatkan nilai pembuat nol ruas kiri pada garis bilangan
5. Tentukan tanda-tanda ruas kiri pada garis bilangan.
6. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan.

Contoh 1 :

Selesaikan x² – 2x – 8 ³ 0 !

Jawab :

x² – 2 x – 8 ³ 0

(x – 4 ) (x + 2) ³ 0

Garis bilangan :

+ + + + + |  – - – - – -  | + + + +

–2                 4

Nilai x yang memenuhi :

x £ –2   atau   x ³ 4

Contoh 2 :

Selesaikan   3 x² + 2 x < 3 – 6 x !

Jawab :

3 x² + 2 x < 3 – 6 x

3 x² + 2 x + 6 x – 3 < 0

3 x² + 8 x – 3 < 0

(3 x – 1) (x + 3) < 0

Nilai pembuat nol : 3x – 1 = 0           dan         x + 3 = 0

3x = 1                                   x = –3

x =

Garis bilangan

+ + + +  | – - – - – - – - – | + + + + +

o                             o

–3

Karena permintaan adalah negatif, maka nilai x yang memenuhi adalah  –3 < x <

Latihan 9

Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut :

1. x² + x – 2 < 0                                                                          6.   15 – 7 x £ 2 x²
2. x² – 16 < 0                                                                              7.   4 x² – 2 x ³ 3 + 3 x – 4 x²
3. 9 – x² > 0                                                                                 8.   5 x² + 15 x £ 2 (x + 3)
4. x² – x < 3 x 9.   3 – 2 x £ 9 x – 6 x²
5. 2 x – x² ³ 0                                                                              10.  2 x² – 3 x – 5 ³ 0

Pemakaian Diskriminan Persamaan Kuadrat

Pada sub bab terdahulu, telah dibahas diskriminan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 yaitu D = b² – 4ac . Selain itu dibahas pula jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Pada bagian ini akan dibahas pemakaian diskriminan yang berhubungan dengan :

1. jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
2. tanda-tanda fungsi kuadrat
3. garis dan parabola

1. a. Hubungan diskriminan dengan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

Hubungan diskriminan dengan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat serta dapat menentukan koefisien-koefisien persamaan kuadrat yang meme-nuhi syarat tertentu.

Bagan berikut menunjukkan syarat-syarat yang harus dipebuhi oleh persamaan kuadrat

a x² + b x + c = 0 , a ¹ 0 yang akar-akarnya x₁ dan x₂ .

a x² + bx + c = 0

a ¹ 0

D < 0                         D = b² – 4 a c D = 0

Akar imajiner                                                                                                                                   Akar kembar

(x₁ = x₂)

x₁ = 0 , x₂ ¹ 0            x₁ = – x₂ x₁ =              x₁ = + , x₂ = +             x₁ = – , x₂ = – x₁ = – , x₂ = +

c = 0                         berlawanan        kebalikan         a, c tanda sama             a,b,c tanda                 a,  c tanda

b = 0               a = c b berbeda                            sama                          berbeda

Contoh 1 :

Tentukan nilai p agar x² – 2 p x + 2p + 15 = 0 mempunyai :

1. akar kembar
2. kedua akar tandanya berlawanan

Jawab :

1. x² – 2 p x + 2p + 15 = 0                                              b.  Syarat kedua akar tandanya berlawanan D > 0 ; x₁ . x₂ < 0

a = 1 ,  b = –2p dan  c = 2p + 15                            b² – 4 a c > 0                                 x₁ . x₂ < 0

Agar kedua akar kembar, maka D = 0                        (–2 p)² – 4 . 1 . (2 p + 15) > 0                         < 0

b² – 4 a c = 0                                      4 p² – 8 p – 60 > 0                             2 p + 15 < 0

(–2 p)² – 4 . 1 . (2 p + 15) = 0                                  p² – 2 p – 15 > 0                                       2 p < –15

4 p² – 8 p – 50 = 0                                  (p – 5) (p + 3) > 0                                   p < –7

p² – 2 p – 15 = 0                                 + + + +    – - – - – - – - -  + + + + +

(p – 5) (p + 3) = 0                                 o                      o

p = 5  atau p = –3                               –3                   5

Jadi nilai p adalah 5 dan –3                                                      p < –3  atau p > 5

Dari syarat (1) dan (2) diperoleh :

o                             o

–3                           5

o

–7

Jadi : p < –7

Latihan 10

1. Tentukan nilai p agar persamaan berikut mempunyai dua akar yang sama !
   1. x² + 2 p x + 4 = 0
   2. x² + px + p + 3 = 0

1. Tentukan nilai p agar persamaan berikut mempunyai akar akar real yang berlainan !
   1. x² + p x + p = 0
   2. x² – (p + 3) x + 2 p + 2 = 0
   3. p x² + 3 x + p = 0

1. Tentukan nilai p agar (4 – p) x² + 11 x + p + 6 = 0 mempunyai akar berkebalikan !

1. Persamaan x² + (2 m – 1) x + m² – 3 m – 4 = 0  mempunyai akar berlawanan. Tentukan nilai m !

1. Tentukan nilai m agar x² + 2 m x – m² + 5 m – 6 = 0 mempunyai :
   1. dua akar berlawanan
   2. dua akar berlawanan tanda
   3. dua akar positif

1. b. Tanda-tanda fungsi kuadrat

Kedudukan parabola y = a x2 + b x + c terhadap sumbu-X tergantung pada nilai a dan nilai diskriminan .

1. Berdasarkan tanda a

a > 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik minimum (parabola terbuka ke atas).

a < 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik maksimum (parabola terbuka ke bawah).

1. Berdasarkan tanda D = b² – 4 a c

D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang berlainan.

D = 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang sama atau parabola menyinggung sumbu-X.

D < 0 maka grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-X dan juga tidak menyinggung sumbu-X.

Dengan menggabungkan tanda-tanda a dan tanda-tanda D, diperoleh kemungkinan bentuk-bentuk parabola sebagai berikut:

Dengan memperhatikan gambar-gambar di atas, diperoleh kesimpulan:

Fungsi kuadrat yang dinyatakan dengan f(x) = a x² + b x + c = 0 ,  a ¹ 0.

Untuk a > 0:

1)       D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x₁) (x – x₂)

f(x) > 0 untuk x < x₁ dan x > x₂

f(x) < 0  untuk  x₁< x < x₂

2)       D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x₁)²

f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x₁ maka f(x) = 0

3)       D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi

f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit positif.

Untuk  a < 0:

1)       D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x₁) (x – x₂)

f(x) < 0 untuk x < x₁ dan x > x₂

f(x) > 0  untuk  x₁< x < x₂

2)       D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x₁)²

f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x₁ maka f(x) = 0

3)       D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi :

f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit negatif.

Contoh 1:

Tentukan batas-batas nilai p agar fungsi f(x) = x² – 4 x – m + 2  definit positif.

Jawab:

f(x) = x² – 4 x – m + 2

Syarat agar fungsi kuadrat definit positif adalah  a > 0  dan  D < 0.

a = 1 bilangan positif

D = (–4)² – 4 (1) (–m + 2) = 16 + 4 m – 8

= 4 m + 8

D < 0  «  4 m + 8 < 0

m < –2

Jadi, agar f(x) = x² – 4 x – m + 2 definit positif, maka m < –2

Contoh 2:

Tentukan fungsi kuadrat yang hanya negatif bagi  – 2 < x < 2  dan grafiknya melalui titik (3, 10) !

Jawab:

Fungsi kuadrat y = f(x)

y < 0  untuk –2 < x < 2 berarti parabola terbuka ke atas.

y = a(x + 2) (x – 2), melalui titik (3, 10) berarti

10 = a(3 + 2) (3 – 2)

= 5a

a = 2

Jadi, y = 2(x + 2) (x – 2)  atau y = 2x² – 8.

Latihan 11

1. Tentukan batas-batas x supaya fungsi berikut ini negatif!

1. y = x² – 7x + 10                                     b.   y = 6x² – 5x – 6              c.   y = 2x² + x – 6

1. Tentukan nilai x agar fungsi berikut ini positif!

1. y = x² – x – 2                                         b.   y = –x² + 2x + 8              c.    y = 2x² – 9x – 5

1. Tentukan batas-batas m supaya y = x² +6x + m positif untuk setiap nilai m !

1. Tentukan batas-batas nilai p supaya fungsi berikut ini definit positif !

1. y = x² – 2px + 3p + 4                            b.   y = (p + 2)x² – (2p + 1)x + (p – 2)

1. Tentukan nilai a supaya y = (a – 1)x² + 2ax + a tidak positif untuk setiap harga x !

1. Tentukan fungsi kuadrat menjadi negatif untuk  –2 < x < 4  dan mempunyai minimum –6 !

1. Tentukan fungsi kuadrat yang hanya positif untuk –1 < x < 2 dan melalui titik (0, 2) !

1. Diketahui dua buah fungsi yang dinyatakan oleh f(x) = 3x² + mx + 2m² dan g(x) = x² + 2mx + m². Jika grafik f(x) selalu di atas grafik g(x), tentukan batas-batas m !

1. c. Persamaan Garis Singgung pada Grafik Fungsi Parabola

Antara garis lurus dan grafik fungsi kuadrat terdapat tiga hubungan, yaitu:

v  garis memotong grafik

v  garis menyinggung grafik

v  garis tidak memotong dan tidak menyinggung grafik.

Koordinat titik potong antara garis  y = mx + n dan grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx+c diperoleh dengan mencari nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

Garis lurus ®  y = mx + n …(1)

Parabola ®  y = ax² + bx + c …(2)

Persamaan (1) disamakan dengan persamaan (2), maka diperoleh  ax² + (b – m)x + c – n, merupakan persamaan kuadrat dalam x, sehingga terdapat kemungkinan sebagai berikut:

1)         D > 0  mempunyai dua akar real berlainan yang berarti terdapat dua titik potong atau garis memotong parabola.

2)         D = 0  mempunyai sebuah akar kembar, yang berarti mempunyai sebuah titik persekutuan atau garis menyinggung parabola.

3)         D < 0  tidak mempunyai akar real, yang berarti garis tidak memotong parabola.

Contoh 1:

Tentukan koordinat titik potong garis  y = x + 5  dengan parabola  y = x² – 3x.

Jawab:   y = x + 5  dan  y = x² – 3x disamakan

x + 5 = x² – 3 x Untuk  x = 5  maka   y = 5 + 5 = 10

x² – 4 x – 5 = 0                                                      Untuk  x = –1  maka  y = –1 + 5 = 4

(x – 5) (x + 1) = 0

x = 5  dan  x = –1

Jadi, koordinat titik potong antara garis y = x + 1  dan  parabola y = x² – 3x

adalah  (5, 10) dan (–1, 4).

Contoh 2:

Tentukan nilai m, supaya garis  y = x + m menyinggung parabola y = x² – 2 .

Jawab:   y = x + m dan  y = x² – 2   disamakan

x + m = x² – 2

x² – 2x – 2m – 2 = 0

Syarat supaya bersinggungan: D = 0.

D = (-2)² – 4 . 1 (2m – 2) = 0

4 + 8m + 4 = 0

8m = –8

m = –1

Jadi, agar garis menyinggung parabola maka m = –1.

Latihan 12

1. Tentukan koordinat titik potong antara garis dengan parabola berikut ini :
   1. y = x + 1  dan  y = x² – x – 2
   2. y = 3x – 8  dan  y = x² – 3x
   3. y = –2x + 9  dan  y = 2x² – 4x + 7
2. Tentukan nilai m supaya garis  y = mx + 1 menyinggung parabola  !
3. Tentukan persamaan garis yang melalui (0, -1) dan menyinggung parabola y = x² !
4. Ditentukan parabola  dan garis  y = x – 2 :
   1. Tentukan koordinat titik potong antara garis dan parabola.
   2. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik potong itu.
5. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik puncak (1, 2) dan menyinggung garis  y = x !
6. Tentukan m supaya garis  y = mx +2 menyinggung parabola y = mx² + x + 4 !
   1. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola y = x² + 2 yang sejajar dengan garis  x – 2y – 4 = 0 Tentukan pula koordinat titik singgungnya!
   2. Fungsi kuadrat y = (m + 3)x² – (3m + 3)x + (m – 5) grafiknya melalui titik asal. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola itu yang melalui titik asal !
   3. Fungsi kuadrat y = x² + (m + 2) x + 2 m – 4  grafiknya selalu melalui sebuah titik yang tidak tergantung pada nilai m. Tentukanlah titik tersebut !
   4. Tentukan dua buah titik tetap yang selalu dilalui fungsi kuadrat y = m x² +(3 m – 2 ) x + 2 – 3 m !

1. Pertidaksamaan Pangkat Tinggi

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam pertidaksamaan pangkat tinggi :

1. Jadikan ruas kanan nol.
2. Faktorkan ruas kiri
3. Bila terdapat definit positif, definit tersebut dapat dihilangkan begitu saja, tetapi bila terdapat definit negatif, definit ini bisa dihilangkan apabila tanda pertidaksamaan diubah menjadi lawan dari tanda mula-mula.
4. Bila hasil faktorisasi terdapat perpangkatan ganjil, maka tidak ada pengaruh apa-apa pada pertidaksamaan.
5. Bila hasil faktorisasi terdapat perpangkatan genap, maka pada garis bilangan akan terdapat pengulangan tanda (mengikuti tanda di sebelah kanannya)

Contoh 1 :

Tentukan nilai x yang memenuhi: (x – 1)² (x + 2)³ (x – 3) > 0 !

Jawab :          (x – 1)² (x + 2)³ (x – 3) > 0

+ + + + + |  – - – - – - -  | – - – - -  | + + + + +

–2                   1              3

Jadi nilai x yang memenuhi adalah:  x < – 2     atau  x > 3

Contoh 2 :

Selesaikan :  (2 – x)⁵ (x + 3) (x² + x + 1) > 0 !

Jawab :          x² + x + 1  adalah definit positif

Sehingga pertidaksamaan itu dapat ditulis menjadi :

(2 – x)⁵ (x + 3) > 0

- – - – - – - | + + + + + | – - – - – -

–3                 2

Nilai x yang memenuhi adalah :  –3 < x < 2

Latihan 13

Tentukan nilai x yang memenuhi :

1. (x² – 3 x + 5) (x + 2) (x – 1) < 0                                               6.   (-2 + 3 x – 4 x²) (x + 4) (x – 3) < 0
2. (x – 1) (x + 2) (x – 3) (x + 4) ³ 0                                              7.   (x + 10)⁵ (x – 7)² (x + 5)² £ 0
3. (x + 1) (2 – x) (x + 3) £ 0                                                          8.   x⁴ – 13 x² + 36 ³ 0
4. (x – 5) (x +1)² (x + 3 > 0                                                           9.   x (x² – x – 2) (15 – 2x – x²) > 0
5. (2 – x)² (x + 3)⁵ (x – 1) < 0                                                       10. (x² – 2 x – 3) (x² + 4 x + 3) £ 0

1. Pertidaksamaan Pecahan

Dalam menyelesaikan pertidaksamaan pecahan perlu diingat bahwa :

1. Hasil bagi dua bilangan mempunyai tanda yang sama dengan hasil kali bilangan itu.
2. Penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan nol
3. Bila terdapat definit positif , definit positif dapat dihilangkan tanpa mempengaruhi pertidaksamaan, tetapi jika terdapat definit negatif, definit negatif dapat dihilangkan asalkan tanda pertidaksamaan

berubah menjadi lawan dari tanda pertidaksa-maan mula-mula

Contoh 1 :

Selesaikan !

Jawab :

+ + + +   – - – - – - – - – -  + + + +

o                     o

–2                  3

Nilai x yang memenuhi : x < –2   atau   x > 3

Contoh 2 :

Selesaikan !

Jawab :

+ + + + +    – - – - – - – -    + + + +

o

–3                  1

Harga x yang memenuhi adalah –3 < x £ 1   (ingat penyebut tidak boleh nol)

Contoh 3 :

Tentukan nilai x yang memenuhi: !

Jawab :              Penyebut merupakan definit positif, jadi dapat diabaikan

x² + 2x – 8 ³ 0

(x + 4) (x – 2) ³ 0                                                    + + + +   |  – - – - – - – - |  + + + +

–4                  2                                Nilai x yang memenuhi adalah :   x £ –4   atau   x ³ 2

Latihan 14

Tentukan nilai x yang memenuhi :

1. 6.
2. 7.
3. 8.
4. 9.
5. 10.

1. Pertidaksamaan Irasional

Cara penyelesaian bentuk pertidaksamaan ini adalah :

1. Bentuk bilangan di bawah tanda akar selalu lebih besar atau sama dengan nol
2. Tanda akar dapat dihilangkan dengan mengkuadratkan

Contoh 1:

Selesaikan  !

Jawab :                                                            Syarat :

kuadratkan                           2 x – 1 ³ 0

2 x – 1 < 9                                                          2 x ³ 1

2 x < 10                                                                  x ³    . . . . . (2)

x < 5  . . . . . .(1)

o

5                                              Jadi :  £ x < 5

Contoh 2 :

Selesaikan

Jawab :

Syarat I                                 Syarat II

kuadratkan                   2 x – 10 > 0                           2 – x ³ 0

2 x – 10 > 2 – x 2 x > 10                                2 ³ x

2 x + x > 2 + 10                                                              x > 5                                   x £ 2

3 x > 12

x > 4                                                            2                             4              5

Jadi tidak ada nilai x yang memenuhi.

Contoh 3 :

Tentukan nilai x yang memenuhi : !

Jawab :

Syarat I                 Syarat II

kuadratkan                    x + 3 > 0                 12 – 2x ³ 0

x + 3 > 12 – 2 x x > –3                        12 ³ 2x

x + 2 x > 12 – 3                                                                                                x £ 6

3 x > 9

x > 3                                                              –3                           3              6

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan di atas :  3 < x £ 6.

Contoh 4 :

Selesaikan

Jawab :

Syarat :

kuadratkan                      x² + 2 x ³ 0

x² + 2 x < x² + 6 x + 9                                                         x (x + 2) ³ 0

2 x – 6 x < 9                                                                          + +  | – - – - – - -| + + +

–4 x < 9                                                                               –2                     0

x >–2                                                                 x £ –2   atau   x ³ 0  …2)

o

–2       –2                           0

Hasil penyelesaian :   –2 < x £ –2   atau  x ³ 0

Latihan 15

Tentukan nilai x yang memenuhi :

1. < 3                                                                            6.
2. < 4                                                                            7.    < x – 2
3. < 5                                                                           8.    < 15 – x
4. 9.
5. 10.

1. Pertidaksamaan Nilai Mutlak.

Nilai mutlak dari bilangan a ditulis | a | dan mempunyai nilai sebagai :

| a | =

Contoh 1 :

| 70 | = 70                              | – 70 | = – (– 70) = 70                         | 0 | = 0

Pertidaksamaan dengan nilai mutlak dapat diselesaikan dengan mengkuadratkan

Contoh 2 :

Carilah nilai x yang memenuhi pertidaksamaan ; | x | £ a , a positif !

Jawab :  | x | £ a

kuadratkan

x² £ a²

x² – a² £ 0

(x – a) (x + a) £0                   + + + +   – - – - – - – –  + + + +

–a                                a

Jadi ;      – a £  x £ + a

Contoh 3 :

Tentukan nilai x yang memenuhi | x | ³ a , a positif !

Jawab :  | x | ³ a

kuadratkan

x² ³ a²

x² – a² ³ 0

(x – a) (x + a) > 0

(x – a) (x + a) ³ 0                  + + + +   – - – - – - – –  + + + +

– a                               a

Jadi         x £ – a atau x ³ a

Contoh 4 :

Selesaikan | x – 4 | < 3

Jawab ;

Cara I                                                                                    Cara II

| x – 4 | < 3                                                                             Dari jawaban contoh 1, diperoleh:

kuadratkan                                                 | x – 4 | < 3

(x – 4)² < 9                                                                             –3 < x – 4 < 3

x² – 8 x + 16 < 9                                                                   Jadi 1 <  x < 7

x² – 8 x + 7 < 0

(x – 1) (x – 7) < 0

+ + + + o  – - – - – - o + + + + +

1                    7

Jadi              1 < x < 7

Contoh 5 :

Selesaikan : | x + 2 | > 5 !

Jawab :

Cara I                                                                                    Cara II

| x + 2 | > 5                                                                             Dari jawaban contoh 2, diperoleh

kuadratkan                                           | x + 2 | > 5

(x + 2)² > 25                                                                          x + 2 < – 5    atau x + 2 > 5

x² + 4 x + 4 > 25                                                                   x < –7   atau   x > 3

x² + 4 x – 21 > 0

(x + 7) (x – 3) > 0

+ + + + o - – - – - – o + + + + +

-7                  3

Jadi  x < -7              atau       x > 3

Latihan 16

Selesaikan pertidaksamaan berikut :

1. | x | £ 4                                                                                     6.   | x² – 5 | £ 4
2. | x + 1 | > 2                                                                              7.   | x² – x – 1 | £ 1
3. | x² – 2 | > 1                                                                             8.   | 2 x² – 8 x – 1 | ³ 9
4. | x² – 4 x | > 0                                                                          9.    £ 1
5. | x² – 1 | < 7                                                                             10.  ³ 2